证明一下方程x^4+4x+c=0(c是常数)最多有2个实根

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 20:41:57
摆脱大家啦~~~~
大家看清楚是x的四次方，不是平方

fxqjs6同学的解答显然不严谨……请大家用最正规严谨的证明啊~~
请回答问题的同学不要用什么“画画”以及“看出来”这些不严谨的证明
这样吧，我再补充一下：最好用rolle's theorem 或intermediate value theorem 或lagrange中值定理证明

我的意思是剩下的这些都很简单了，我就不帮你详细写出来了！

我给你改一下：

把x^4+4x+c求导
得到
4x^3+4=4(x+1)(x^2-x+1)只有一个实根，记为x0
那么这个导函数在x0两侧分别不变号
说明原函数在x0两侧都分别是单调的，所以显然至多有2个实根

这样你满意了吧
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用罗尔中值定理来证明：
假设有3个根，那么根据罗尔中值定理，中间那个根和左边那个根之间有一个点导数为0.同理和右边那个根中间也有一点导数为0
所以推出了导数至少有两个根，而我们已经证明了导数只有一个实根，矛盾。

证明：x⁴+4x+c=0
当c＝0时，x⁴+4x＝0
x(x³+4)=0,此时刚好两个根。
当c＝3时，x⁴+4x+3=0
x⁴+x+3x+3=0
x(x³+1)+3(x+1)=0
x(x+1)(x²-x+1)+3(x+1)=0
(x+1)(x³-x²+x+3)=0

真的是高手云集
难道一元2次方程还会有3个根？